A Carlo, mi mentor de LaunchX, le gusta mucho Alicia en el País de las Maravillas. La historia comienza con Alicia persiguiendo un conejo blanco. Nunca lo alcanza, pero por perseguirlo encuentra las maravillas. Carlo siempre está diciéndonos que persigamos a nuestros conejos blancos. Perseguir cada dato o herramienta que nos interese y dejarnos llevar.
Decidí hacer eso con los videos de Mathologer, porque son una maravilla y hace poco comenzó a incluir coding challenges. Me topé con este, donde demuestra que 0.99999… = 1. La demostración no es nueva para mí. La primera vez que me la mostraron no me convencieron. Di por hecho que tenía que existir alguna regla algebraica que prohibiera esa barbaridad. Unos años después, me uní a un grupo de estudiantes con interés por la ciencia. Dábamos charlas una vez por semana. En una de esas charlas, un compañero volvió a demostrar que 0.9999… = 1. Esta vez, lo que me convenció no fue la demostración, sino un comentario que hizo alguien, no recuerdo si el mismo compañero o alguien que asistió a su charla:
Entre dos números reales hay infinitos números reales diferentes. Entre 0.99999… y 1 no puede haber ningún número real, así que tienen que ser el mismo número.
Así que cuando vi el video de Mathologer pensé “Bien, esto ya lo sabía. Aquí no hay conejo que perseguir” y seguí con mi vida.
Hoy estaba leyendo un libro de divulgación de matemáticas titulado How Not To Be Wrong, de Jordan Ellenberg, cuando de repente, en las páginas 46 y 47, encontré tres conejos de golpe.
La sección del libro donde aparecen estos conejos empieza hablando de la paradoja de Zenón, luego habla de curiosos resultados que aparecen en las sumas infinitas y luego demuestra que 0.9999… = 1. Nada de esto era nuevo para mí porque me gusta mucho la divulgación y son temas que se repiten entre divulgadores. Entonces el autor dijo algo que no me esperaba: que está bien no conformarse esa demostración, que hay toda un área de investigación desarrollada por gente que no se conforma con esa demostración. Primer conejo: el Análisis no estándar.
Después dice que el precio a pagar, o la ganancia, según como lo veas, de teorías como esa, es la aparición de nuevos tipos de números. En el pie de página, menciona el segundo conejo: los números surreales. Me desbloqueó el recuerdo. Ya lo había seguido antes. La primera vez que escuché que 0.9999… = 1 y no quedé convencida, llegué a un video donde explicaban que, con números surreales, no era el caso. O algo así, la verdad fue hace mucho tiempo. Ni siquiera estoy segura de que ese video sea este.
También recuerdo que en la biblioteca de mi universidad tenían un libro algo chistoso sobre una pareja hetero que naufraga en una isla desierta y, para entretenerse, desarrollan la teoría de números surreales paso a paso y sin ayuda de nadie más. Lo escribió el mismísimo Donald Knuth. Es cortito y, si también estudias en la DCI, lo puedes encontrar así.
El tercer conejo viene de una reflexión. Aparece una cita de Hardy:
“A un matemático moderno no se le ocurriría que una colección de símbolos matemáticos debe tener un “significado” mientras no se le asigne uno por definición.”
El libro continúa diciendo que:
“El hecho de que podamos asignar el significado que queramos a una cadena de caracteres matemáticos no significa que debamos hacerlo. En matemáticas, como en la vida, existen buenas y malas decisiones. En el contexto matemático, las buenas decisiones son aquellas que acaban con perplejidades innecesarias sin crear otras nuevas.”
Cauchy introdujo el concepto de límite al cálculo apenas en 1820:
“La suma 0.9 + 0.09 + 0.009 + … se acerca más y más a 1 mientras más términos agregas. Y nunca lo traspasa. […] Bajo esas circunstancias, Cauchy dijo, deberíamos simplemente definir el valor de la suma como igual a 1. Y después trabajó muy duro para probar que comprometerse con esta definición no hacía surgir horribles contradicciones en ningún lado. Cuando terminó, había construido un marco que hacía el cálculo de Newton completamente riguroso.”
Perdónenme, pero el libro de Knuth es una divertida perplejidad y no me atrevería a calificarla de innecesaria :)
Esta entrada participa en la Edición 13.2 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.
